Sup что значит в математике

Sup что значит в математике

Этот раздел не завершён.

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Список математических аббревиатур" в других словарях:

Таблица математических символов — В математике повсеместно используются символы для упрощения и сокращения текста. Ниже приведён список наиболее часто встречающихся математических обозначений, соответствующие команды в TeXе, объяснения и примеры использования. Кроме указанных… … Википедия

Математические обозначения — Список используемых в математике специфических символов можно увидеть в статье Таблица математических символов Математические обозначения («язык математики») сложная графическая система обозначений, служащая для изложения абстрактных… … Википедия

Аббревиатура — У этого термина существуют и другие значения, см. Аббревиатура (значения). Аббревиатура (итал. abbreviatura от лат. brevis краткий) или сокращение. В старинных рукописях и книгах сокращённое написание слова или группы слов,… … Википедия

Имена советского происхождения — Имена советского происхождения личные имена, бытующие в языках народов бывшего СССР, например в русском,[1][2] татарском[3] и украинском … Википедия

Nav view search

Navigation

Search

  • Вы здесь:
  • Home

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Пусть $X -$ произвольное непустое множество действительных чисел. Число $M=max X$ называется наибольшим (максимальным) элементом множества $X,$ если $Min X$ и для всякого $xin X$ выполняется неравенство $xleq M$. Аналогично определяется понятие наименьшего (минимального) элемента $m=min X$ множества $X.$

Множество $X$ называется ограниченным сверху, если существует действительное число $a$ такое, что $xleq a$ для всех $xin X.$ Всякое число, обладающее этим свойством, называется верхней гранью множества $X.$ Для заданного ограниченного сверху множества $X$ множество всех его верхних граней имеет наименьший элемент, который называется точной верхней гранью множества $X$ и обозначается символом $sup X.$ Очевидно $sup X=max X$ тогда и только тогда когда $sup Xin X.$

Аналогично определяются понятия ограниченного снизу множества, нижней грани и точной нижней грани множества $X.$ Последняя обозначается символом $inf X.$

Множество $X,$ ограниченное снизу и сверху, называется ограниченным.

Пусть $xsubset R.$ Число $x_0in R$ называется предельной точкой множества X , если любая окрестность точки $x_0$ содержит точку из множества $X,$ отличную от $x_0,$ то есть для $$forallvarepsilon>0,,exists yin X, y
eq x_0: |y-x_0|

Читайте также:  Ocz arc 100 240 gb

Сама точка $x_0$ может принадлежать, а может и не принадлежать множеству $X$ .

Примеры.

а) Указать наименьший и наибольший элементы этого множества, если они существуют.

б) Каковы множества верхних и нижних граней для множества $X.$ Найти $sup X$ и $inf X.$

Решение.

а) Данное множество имеет наибольший элемент $M=1$ поскольку для всех элементов множества $xin X $ выполняется неравенство $xleq 1$ и при этом $1in X.$

Наименьшего элемента заданное множество не имеет, так как для любого элемента $x_n=frac<1>in X$ всегда найдется элемент $x_=frac<1>in X$ для которого выполняется неравенство $x_leq x_n.$

б) Поскольку для всех элементов $x$ множества $X$ выполняется неравенство $xleq 1,$ причем $1in X,$ то множество верхних граней для множества $X$ это множество $[1, +infty)$ c наименьшим элементом равным $1.$ Таким образом, $sup X=1.$

Наименьшего элемента множества $X$ не существует. Очевидно, что для всех элементов $x$ множества $X$ выполняется $xgeq 0, $ то есть множество $X$ ограничено снизу. Покажем, что $0$ является предельным значением множества $X.$ Действительно, для любого $varepsilon>0$ можно найти натуральное число $$n>frac<1><varepsilon>,,Rightarrow,,frac<1> граней для $X$ это множество $(-infty, 0]$ c наибольшим элементом равным $0.$ Отсюда находим $inf X=0.$

Ответ: $M=1,$ наименьшего элемента не существует, $[1, +infty),$ $(-infty, 0],$ $sup X=1,$ $inf X=0.$

1.74. Для множества $X=left<1><2^n>,,, nin N
ight>$ найти $max X, ,, min X,$ $sup X$ и $inf X$ если они существуют.

Решение.

Запишем множество $X$ в виде

Данное множество имеет наибольший элемент $M=frac<1><2>$ поскольку для всех элементов множества $xin X $ выполняется неравенство $xleq frac<1><2>.$ При этом $frac<1><2>in X.$

Наименьшего элемента заданное множество не имеет, так как для любого элемента $x_n=frac<1><2^n>in X$ всегда найдется элемент $x_=frac<1><2^>in X$ для которого выполняется неравенство $x_leq x_n.$

Поскольку для всех элементов $x$ множества $X$ выполняется неравенство $xleq frac<1><2>,$ причем $frac<1><2>in X,$ то множество верхних граней для множества $X$ это множество $left[frac<1><2>, +infty
ight)$ c наименьшим элементом равным $frac<1><2>.$ Таким образом, $sup X=frac<1><2>.$

Наименьшего элемента множества $X$ не существует. Очевидно, что для всех элементов $x$ множества $X$ выполняется $xgeq 0, $ то есть множество $X$ ограничено снизу. Покажем, что $0$ является предельным значением множества $X.$ Действительно, для любого $varepsilon>0$ можно найти натуральное число $$n>log_2frac<1><varepsilon>,,Rightarrow 2^n>frac<1><varepsilon>Rightarrow,,frac<1> <2^n>Таким образом, множество нижних граней для $X$ это множество $(-infty, 0]$ c наибольшим элементом равным $0.$ Отсюда находим $inf X=0.$

Читайте также:  Freebsd 11 почтовый сервер

Ответ: $M=frac<1><2>,$ наименьшего элемента не существует $sup X=frac<1><2>,$ $inf X=0.$

1.80. Пусть $Xsubset R -$ произвольное ограниченное множество. Доказать, что множество $-X=$ так же ограничено и справедливы равенства $$sup (-X)=-inf X,qquad inf (-X)=-sup X.$$

Доказательство.

Так как множество $X$ ограничено, то оно ограничено сверху и снизу, а значит существуют соответственно, числа $a$ и $b$ такие, что $forall xin X, ,, aleq xleq b. $ Отсюда, решая неравенство видно, что для элементов $-x$ верно неравенство $-bleq -xleq -a.$ То есть множество $-X=$ также является ограниченным.

Пусть $a=inf X.$ Тогда из неравенства $-xleq -a$ получаем $-xleq -inf X.$

Если $ain X,$ то $-ain -X.$ В этом случае очевидно, что $$-a=sup(-X)Rightarrow sup(-X)=-inf X.$$

Если $a
otin X,$ то $-a
otin -X.$ Покажем, что $-a$ это наименьшй элемент принадлежащий множеству верхних граней. Действительно, пусть существует элемент $c
eq a, ,,-c
otin -X,$ такой что для всех $-xin -X$ $-xleq -cleq -a.$ Тогда $c
otin X$ и віполняется неравенство $aleq cleq x.$ Следовательно, $a
eq inf X.$ Получили противоречие. Таким образом, $$-a=sup(-X)Rightarrow sup(-X)=-inf X.$$

Аналогично доказывается, что $inf (-X)=-sup X.$

Что и требовалось доказать.

Домашнее задание.

1.75. Для множества $X=[-1, , 1]$ найти $max X, ,, min X,$ $sup X$ и $inf X$ если они существуют.

1.76. Для множества $X=left

Ответ: Не существует, $-5,, 0,, -5.$

1.81. Пусть $X,,, Ysubset R -$ произвольные ограниченные сверху множества. Доказать, что множество $X+Y=$ ограничено сверху и справедливы равенства $$sup (X+Y)=sup X+sup Y.$$

Докажем еще одну теорему, которая опирается на свойство непрерывности действительных чисел.

Терема о существовании верхней (нижней) грани.Сначала введем несколько определений.

Определение. Числовое множество X называется ограниченным сверху, если существует число М такое, что x ≤ M для всякого элемента x из множества X .

Определение. Числовое множество X называется ограниченным снизу, если существует число m такое, что x ≥ m для всякого элемента x из множества X .

Читайте также:  Acer predator helios 500 amd

Определение. Числовое множество X называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу.

В символической записи эти определения будут выглядеть следующим образом:

множество X ограничено сверху, если ∃M ∀x ∈ X : x ≤ M ,

ограничено снизу, если ∃m ∀x ∈ X : x ≥ m и

ограничено, если ∃m, M ∀x ∈ X : m ≤ x ≤ M .

Пустое множество будем считать ограниченным по определению.

Определение. Для любого числа a R неотрицательное число

называется его абсолютной величиной или модулем. Для абсолютных величин чисел справедливо неравенство |a+b|

Очевидно, что равенство = sup X равносильно двум условиям:

1) ∀x ∈ X выполняется неравенство x ≤ , т.е. — верхняя граница множества X ;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X так, что выполняется неравенство xε > −ε , т.е. эту границу нельзя улучшить (уменьшить).

Аналогично, можно доказать, что если множество ограничено снизу, то оно имеет точную нижнюю границу, которая называется также нижней гранью или инфимумом множества X и обозначается inf X . Равенство =inf X равносильно условиям:

1) ∀x ∈ X выполняется неравенство x ≥ ;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X так, что выполняется неравенство

Свойство 3. Пусть X1 и X2 — числовые множества. Обозначим через X1+X2 множество и через X1 − X2 множество . Тогда sup(X1 + X2)=supX1+supX2, inf(X1+X2)=infX1 +inf X2 , sup(X1 − X2) = sup X1 − inf X2 и inf (X1 − X2) = inf X1 − sup X2 .

Свойство 4. Пусть X1 и X2 — числовые множества, все элементы которых неотрицательны. Тогда sup (X1*X2) = sup X1 *sup X2 , inf (X1*X2) = inf X1* inf X2 .

Докажем например первое равенство свойства 3. Пусть x1 ∈ X1, x2 ∈ X2 и x=x1+x2. Тогда x1 ≤ sup X1, x2 ≤ sup X2 и x ≤ sup X1 + sup X2 , откуда sup(X1 + X2) ≤ sup X1 + sup X2 .

Чтобы доказать противоположное неравенство, возьмем число y

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студентов недели бывают четные, нечетные и зачетные. 9691 — | 7545 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector