Арифметическая прогрессия в степени

Арифметическая прогрессия в степени

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией.

an+1 = an + d , n є N

Число d называют разностью арифметической прогрессии

Если разность между последующим и предыдущим членами последовательности есть одно и то же число, то это арифметическая прогрессия. Разумеется, при этом предполагается, что обнаруженная закономерность справедлива не только для явно выписанных членов последовательности, но и для всей последовательности в целом.

Арифметическая прогрессия считается конечной, если рассматриваются только ее первые несколько членов.

Арифметическая прогрессия является:

возрастающей последовательностью, если d > 0, например, 1, 3, 5, 7, 9,11.

убывающей, если d 1

Таким образом, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «арифметическая» прогрессия.

Арифметическая прогрессия может быть задана следующими способами:

а) рекуррентной формулой:

б) формулой n-го члена: an = a1+ d · (n — 1)

в) формулой вида, an = k·n + b , где k и b – числа, n – номер ? N

Сумма n членов арифметической прогрессии:

Основные определения и данные для арифметической прогрессии сведенные в одну таблицу:

Определение арифметической прогрессии an+1 = an + d
Разность арифметической прогрессии d = an+1 — an
Формула n-го члена арифметической прогрессии an = a1+ d · (n — 1)
Сумма n первых членов арифметической прогрессии
Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Пример 1.

При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?

Кладку бревен рассмотрим в виде арифметической прогрессии, где а1= 1, а2= 2, аn= 12

Ответ: 78 бревен.

Пример 2.

Найти сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии, если: а1 = -5, d = 0,5

Арифметические прогрессии

Некоторые особые случаи есть
$1+2+3+cdots+n=left(frac<1><2>
ight)n(n+1)$
$1+3+5+cdots+(2n-1)=n^2$

Читайте также:  Eclipse не видит jdk

Геометрические прогрессии

$a+ar+ar^2+ar^3+cdots+ar^n=frac<1-r>=frac<1-r>s$
где $l=ar^$ есть последним членом и $r
eq1$.

Первую часть статьи об арифметической прогрессии смотрим здесь.

Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100.

Юный Гаусс (10 лет) мгновенно получил результат: 5050.

А как бы считали вы?

Первое и последнее слагаемые суммы дают 101, также как и второе и предпоследнее слагаемые и т.д. Всего таких пар будет 50. Вот и все!

Вот по такому же принципу мы и будем считать сумму n-первых членов арифметической прогрессии.

Пример.

Найдем сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии

Мы пока не знакомы с формулой суммы n-первых членов арифметической прогрессии, давайте будем следовать тому же принципу, что и при вычислении суммы натуральных чисел от 1 до 100.

Найдем по формуле n-го члена арифметической прогрессии:

, где – разность арифметической прогрессии.

Сумма чисел из ряда -9, -6, -3, 0, 3, …48 состоит из 10 одинаковых слагаемых, равных 39.

Значит, сумма указанных чисел окажется равной 390.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Сумма первых членов арифметической прогрессии может быть найдена по формулам

1)

2) ,

где — первый член прогрессии, — член с номером , — количество суммируемых членов.

(Вторая формула – результат подстановки формулы в первую формулу).

Примеры

Пример 1.

Арифметическая прогрессия задана формулой

Найдите сумму первых десяти членов прогрессии.

Для того, чтобы воспользоваться формулой , нам надо найти и :

Тогда

Пример 2.

Найдите сумму натуральных четных чисел, не превосходящих 40.

Перед нами арифметическая прогрессия: 2; 4; 6; … 38; 40.

Воспользуемся формулой :

Пример 3.

Сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, нужно сложить, чтобы их сумма была равна 153?

Читайте также:  Geforce gtx 950 2gb отзывы

Шаг () равен 1;

Обращаемся к формуле :

Поскольку мы работаем с натуральными , то

Пример 4.

Арифметическая прогрессия задана формулой

Найдите сумму членов данной прогрессии с 5-го по 16 включительно.

Найдем первые два члена прогрессии и разность прогрессии:

Последовательность чисел арифметической прогрессии, начиная с 5-го (по 16), – также арифметическая прогрессия.

Поэтому обозначим и т.д., будем считать сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии <> по формуле :

где

Пример 5.

Найдите сумму двузначных натуральных чисел, не кратных 4.

Двузначные числа: 10; 11; 12; 13; … 97; 98; 99.

Если вычеркнуть в ряду числа, кратные 4,

то оставшиеся числа не будут собою образовывать арифметическую прогрессию, а значит, их сумму мы не сможем посчитать по указанным выше формулам.

Мы поступим так:

1) вычислим сумму всех двузначных чисел;

2) вычислим сумму всех двузначных чисел , кратных 4, то есть 12+16+…+96;

3) из суммы вычтем сумму ;

Итак,

Как узнать количество двузначных чисел, кратных 4?

Обозначим порядковый номер числа 96 в ряду 12, 16, … 96 за . Сам ряд, конечно же, образует арифметическую прогрессию ().

Найдем .

Тогда

Итак,

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector